二次函数范文篇1
一、二次函数在给定范围上的最值
例1求二次函数y=x2-2x-5在0≤x≤3上的最值.
解：在函数中顶点坐标（1，-6）.注意函数顶点处于自变量的范围.函数在顶点与端点处的函数值作比较，当x=1时y的值是-6，当x=0时，y的值是-5，当x=3时，y的值是-2.得到y=x2-2x-5在0≤x≤3中最小值与最大值分别是-6和-2.
二次函数在实数范围内是连续的，在任意的闭区间上，它都是存在最大值和最小值，其注意点就是首先确定二次函数的顶点存在的范围.如果在顶点的一侧是给定的范围（包括两个端点），则最值就是端点处的函数值.如y=x2-2x-5在2≤x≤5内，x=2时存在最小值y=-5，x=5时存在最大值y=10，这时2≤x≤5处于顶点的右面，函数在2≤x≤5上面则为单调递增.
二、有字母系数的二次函数的最值
如果在二次函数中y=ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c中至少有一个变动的系数，称之为含字母系数的二次函数.这时，y不仅仅是自变量x的函数，与此同时跟着变系数的取值不同而发生变化.含字母系数二次函数所表达的曲线是一条抛物线，解答这种二次函数的最值问题，一般基本的步骤都是先将字母系数作为一个普通的常数看待，用以求出顶点坐标的表达公式，接下来根据顶点处于自变量中的不同地方，进行分类解答.
例2
求y=-x（x-a）在-1≤x≤1在下面三种情形的最大值.（1）a2.
在本题中，给出了带有字母系数a的二次函数，题目条件已经明确设定了它不同的取值范围.由此，当求解最大值时，可以针对a的限制范围来分别求得端点与顶点处函数值的大小.当然，为了使直观性增强，可以画图，凭借图形进行讨论.
解：二次函数的顶点坐标为（a/2，a2/4）.
（1）a
（2）-2≤a≤2.这时-1≤a/2≤1，即顶点的范围在-1≤x≤1中，所以，y的最大值在顶点处.所以x=a/2时，y得到最大值a2/4.
（3）a2.这时a/2>1，所以给定了范围（-1≤x≤1）的位置在抛物线的顶点左面，y=-x（x-a）在-1≤x≤1上面是单调递增的.所以，当x=1时，y得到最大值a-1.
由上面的例子的解答方法可以得知，一个有最大值的二次函数当其中含有字母时，顶点不在给定范围中（包括两侧的端点），最大值是两端点中的一个数；顶点处于给定范围中，顶点处于的位置，就是取得的最大值.
三、函数最值的应用
实际生活中，多多少少会遇到一些如怎样使用材料最省，怎样花销最小，怎样利润最高等等问题.这种问题，归纳与二次函数的最值问题，在中考，运用二次函数的方法解决实际问题是重点考点，此类试题经常结合于实际将社会热点问题为背景，考查是否能够灵活运用所学知识解决现实生活问题.
例3
客房部将60个房间供应游客居住，每个房间为每天200元的定价时，房间将被住满.每个间房间的定价每提高10元时，将会空闲出一间房，宾馆要对每个房间支出各种费用设施20元，每个房间的定价提高x元，求解：
（1）房间每天的入住量y（间）与x（元）的函数关系式；
（2）每天房间的收费z（元）与x（元）的函数关系式；
（3）客房部利润w（元）与x（元）的函数关系式；当w有最大的值，每个房间的定价是多少？最大值为多少？
这种问题解决关键就是得到定价提高，该宾馆每天的入住量，此类型试题都能转化为二次函数的最值问题，二次函数画图、性质便于这种问题快速解决.
解：（1）y=60-x/10.
（2）z=（200+x）（60-x/10）=（-1/10）x2+40x=12000.
（3）w=（200+x-20）（60-x/10）=（-1/10）x2+42x+10800=（-1/10）（x-210）2+15210；当x=210时，w存在最大值.这时x+210=410，w要有最大值15210，每个房间定价410元.
二次函数范文
学习函数知识，概念是最基础的，首先要理解一个函数的定义和概念，才能够从根本上深入了解二次函数就是只含有一个未知量，并且这个未知量的最高次幂是2．通常学生会认为，二次函数的表达式为y=ax2+bx+c”．这样的表达式，真的能够完全代表二次函数吗?教师可以让学生根据二次函数的概念进行深入的分析和讨论，要重点强调二次函数”这一特征，让学生能够和学过的知识有所区分，根据对公式的理解和观察，学生能够举出反例，当表达式中的系数a等于0的时候，那么函数表达式就变成了y=bx+c”，这并不符合二次函数的概念．所以说，对于上面的公式还要加上约束条件才能够成立．y=ax2+bx+c，当其中的a≠0的时候，才能够满足二次函数的定义．通过对概念的分析和理解，学生能够更加清楚地了解二次函数．当学生出现理解错误的时候，教师要及时进行正确的指导，帮助学生改正错误，要让学生对未知量的系数以及未知量的存在有更加清楚的认识，考虑问题的时候更加全面和细致，这对学生的学习和发展也是有帮助的．
二、采用数形结合法，帮助学生理解
数形结合法是数学教学中比较常用的一种教学方法，其目的就是帮助学生理解数学知识，将抽象的数学概念转化成可见的图形形式．图象和数学分析运算结合在一起来解决问题，给学生建立一个更加清晰的数学模型．在二次函数的学习过程中，对于图象的认识和学习也是非常关键的．图象能够清晰地反映出函数的基本性质以及特点，教师不能忽视图象对于学生学习的重要性，在教学过程中通过绘制图形的形式帮助学生理解和学次函数知识．在观察图形的过程中，学生能够了解到函数的具体性质．采用数形结合的思想，能够帮助学生仔细地研究和分析，从图形的变化中发现函数的性质规律．例如，在已知条件中给出二次函数抛物线的表达式y=x2+bx+c的对称轴是x=2，A、B两点都在抛物线上，并且这两点连成的线与x轴是平行的，其中A点的坐标是(0，3)，那么B点的坐标是什么?对这道题目而言，如果只是单从xyx=2ABO题目本身来看，学生很难计算出B点的坐标．这道题目就是典型的应用数形结合思想的．首先应该根据题目的要求绘制出二次函数的图形，如图，根据图形上显示的信息，学生可以判断出A、B两点的纵坐标应该是相同的，现在已知的是A点的坐标，根据图象的显示，B点在第一象限内，所以说B点的横坐标应该是位于x轴的正半轴上．由于点A在抛物线上，根据A点的坐标(0，3)可以知道，C=3，根据对称轴是x=2，可以求出b=－4，所以x=0或x=4两个结果，x=0的时候就与点A重合了，所以说不可能，那么正确的答案就是x=4，所以说B点的坐标就应该是(4，3)．
三、提出问题，让学生进行讨论探究
数学具有探究性以及实践性．在学习过程中，教师要培养学生的探究意识，在二次函数知识学习的过程中也是一样．教师可以根据生活中的实际现象向学生提出问题，让学生探究讨论．学生通过讨论分析解决问题后，会对这部分的知识印象特别深刻．要想让学生掌握函数知识，就需要将这些知识点进行展开探究，才能够深入挖掘其中的内涵．在课堂开始的阶段，教师可以采取提出问题的方式吸引学生的注意力．例如，教师可以在课堂的开始阶段，提问:在生活中有没有看见过拱桥?这样贴近生活的话题，会引发学生的共鸣．当学生回想拱桥的形状之后，教师可以接着提问:现在有一座拱桥要跨过一条宽8m的河流，河中央支撑桥体的柱子为4m高，现在想要在距离河岸各2m的地方分别支撑一根柱子，那么这根柱子的高度因该是多少?这是一个涉及到实际生活的问题，学生可以根据教师的描述在脑海中形成画面，然后积极探讨和研究解决问题的方法．教师可以适当地将学生向二次函数的方向来引导．通过分析研究，学生发现可以将拱桥看成是二次函数，将河中央的柱子看成是对称轴，以河为x轴，柱子为y轴建立直角坐标系，那么可以首先求出二次函数的表达式，然后根据要求的柱子的横坐标求出柱子的高度．
四、总结
二次函数范文
关键词：二次函数对称轴单调性最值
中图分类号：TH133.2文献标识码：A文章编号：
通过多年的教学，感悟到有很多数学问题都与二次函数的对称轴相关，弄清对称轴是把握二次函数的关键所在，下面从几方面的知识入手就可渡过这个难关。
一、对称轴划分单调性。
二次函数的单调性是这样划分的：
（1）（2）
（1）当a>0二次函数在(－,－]上单调递减，在(－,＋)上单调递增；
(2)当a
例1、已知函数f(x)=x[－5,5],求f(x)在[－5,5]上是单调函数的a的取值范围。
解：对称轴x＝﹣a，要使f(x)在[－5,5]上单调，必须满足条件﹣a≤﹣5，－a≥5
a≥5，a≤－5
例2、已知函数f(x)＝在(－,－1)上为减函数。
求f(2)的取值范围。
解：二次函数的对称轴为x=2a－1,
a≥0
函数f(x)在(－,2a－1)上为减函数，
－1≤2a－1,a≥0
而f(2)=
=－8a+14
a≥0
f(2)=14－8a≤14.
例3、函数y=存在反函数吗？如果存在，请给出x的一个取值范围，使它存在反函数。
解：要使函数具有单调性，必须要在对称轴的左右两側的区间上。
对称轴x=4
当x(－,4][4,＋)时就存在反函数。
二、二次函数的最值离不开它的对称轴
例4、已知函数y=在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的取值。
[解析]本题是二次函数在给定区间上的最值问题，要用分类讨论的思想解决问题。
,对称轴x=
当01，即0a2时，
由，得
a=2或a=－2,与0a2矛盾，不合要求。
当
，由
(3)>1即a>2,时函数在[0,1]上单调增，
由
综上，得a=-6或a=。
本题属于“轴变区间定”的二次函数最值问题，要讨论对称轴与定义域的相对位置，要注意开口方向及端点情况。
例5、已知若
写出的表达式。
解，对称轴，如图：
(1)当
即
(2)当即时
当，
综上可得：
本题属于“轴定区间动”的二次函数在给定区间上的最值问题，主要看区间落在二次函数的哪个单调区间上，从而借助单调性求最值。
三、二次方程根的分布有时要考虑二次函数的对称轴
二次函数，一元二次方程和不等式是一个有机的整体，对于二次方程实根的分布问题有时要考虑对称轴的位置。
例6、（2007.湖北文）设二次函数的两根求实数a的范围；
分析：利用二次函数的图像，函数在区间(0,1)上有两个零点，实施方程，函数，不等式的转化。
设
由题意，得，
,故所求a的取值范围是
例7、若关于x的方程在[-1,1]上有解，则实数m的取值范围是
分析：的解在[-1,1]，就是二次函数与x轴的交点在[-1,1]上，只需满足条件：